БИЛЕТЫ ПО МАТАНУ!!! Экзаменационные вопросы по дисциплине "Математический анализ",
группы 3ВТИ-1ДБ-134 и 3ВТИ-1ДБ-135, 2005/2006 учебный год,
1 курс, 2 семестр, лектор проф. Селиванов Ю. В.
1. Первообразная и неопределенный интеграл. Связь операций дифференци-рования и интегрирования. Таблица интегралов.
2. Основные правила вычисления неопределенных интегралов.
3. Интегрирование простейших правильных дробей, интегрирование рацио-нальных функций.
4. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.
5. Интегрирование рациональных тригонометрических выражений.
6. Интегрирование квадратичных иррациональностей. Подстановки Эйлера.
7. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
8. Определение определенного интеграла, его геометрический и механический смысл. Интегрируемость непрерывных и кусочно-непрерывных функций.
9. Основные свойства определенного интеграла: линейность и аддитивность. Интеграл с произвольным порядком интегрирования.
10. Интегрирование неравенств. Теорема о среднем значении.
11. Производная интеграла по переменному верхнему пределу.
12. Формула Ньютона–Лейбница.
13. Замена переменной в определенном интеграле.
14. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
15. Применение определенного интеграла к вычислению площадей.
16. Площадь в полярных координатах.
17. Вычисление длины дуги кривой в декартовых и полярных координатах.
18. Вычисление объема тела по известным площадям сечений. Объем тела вра-щения.
19. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Обобщение формулы Ньютона–Лейбница.
20. Несобственные интегралы от разрывных функций. Обобщение формулы Ньютона–Лейбница.
21. Функции нескольких переменных. Область определения и способы задания. График. Линии и поверхности уровня. Окрестность точки.
22. Пределы функций нескольких переменных, их свойства. Примеры.
23. Непрерывность функций нескольких переменных. Свойства непрерывных функций. Точки, линии и поверхности разрыва.
24. Свойства функций, непрерывных в ограниченной и замкнутой области.
25. Частные производные, их геометрический смысл.
26. Частные производные высших порядков. Теорема о независимости сме-шанных производных от порядка дифференцирования.
27. Касательная плоскость к поверхности, определяемой графиком функции двух переменных. Ее уравнение и нормаль к поверхности.
28. Полный дифференциал. Достаточное условие дифференцируемости.
29. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям. Гео-метрический смысл дифференциала.
30. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции не-скольких переменных.
31. Дифференцирование сложных функций. Полная производная.
32. Дифференцирование сложных функций. Общий случай. Инвариантность формы и другие свойства полного дифференциала.
33. Неявные функции одной переменной, их существование. Дифференцирова-ние неявных функций. Примеры.
34. Неявные функции от двух переменных, их существование и дифференциро-вание.
35. Касательная к кривой, задаваемой неявной функцией. Примеры.
36. Касательная плоскость к поверхности, задаваемой неявной функцией. При-мер.
37. Скалярные и векторные поля. Градиент, его свойства. Производная функ-ции по направлению. Ее связь с градиентом.
38. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимые и достаточ-ные условия.
39. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
40. Нахождение наибольших и наименьших значений функции нескольких пе-ременных.
41. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
42. Определение дифференциального уравнения. Его порядок и решение. Уравнения, разрешенные относительно старшей производной. Дифференци-альное уравнение первого порядка. Общее и частное решение. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.
43. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися пере-менными.
44. «Однородные» дифференциальные уравнения первого порядка.
45. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольной постоянной. Уравнение Бернулли.
46. Уравнения в полных дифференциалах.
47. Дифференциальные уравнения второго порядка. Задача Коши. Случаи по-нижения порядка уравнений второго и высших порядков.
48. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Свойства реше-ний однородных уравнений. Линейная зависимость и независимость системы функций.
49. Определитель Вронского, его свойства.
50. Теорема о структуре общего решения однородного линейного дифференци-ального уравнения второго порядка.
51. Решение однородных линейных дифференциальных уравнений второго по-рядка с постоянными коэффициентами.
52. Решение однородных линейных дифференциальных уравнений высших по-рядков с постоянными коэффициентами.
53. Решение неоднородного уравнения второго порядка методом вариации произвольных постоянных.
54. Нахождение частного решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов (правая часть урав-нения – квазимногочлен).
55. Нахождение частного решения неоднородного линейного дифференциаль-ного уравнения с постоянными коэффициентами методом неопределенных ко-эффициентов (общий вид правой части).
56. Двойной интеграл: определение, существование, геометрический и физиче-ский смысл.
57. Свойства двойных интегралов.
58. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному.
59. Тройной интеграл. Его вычисление в декартовых координатах.
60. Переход в двойном интеграле к полярным координатам.
